Empire
Antarë i Respektuar
Mekanika kuantike e cila ndonjëre njihet si fizika kuantike është një teori fizike, që përshkruan sjelljen e lëndës në rrafshin atomik e nënatomik. Është një nga shtyllat kryesore të fizikës moderne dhe përbën themelin e shumë fushave të saj, si psh. fizikës atomike, bërthamore, fizikes së materies së kondensuar, si edhe degë të ngjashme, si Kimia kuantike.
Pasojat e mekanikës kuantike zakonisht nuk janë të vëzhgueshme në shkallën makroskopike, por në atë mikroskopike. Teoria kuantike, përveç teorisë së relativitetit të përgjithshëm është në thelb të teorive klasike, si mekanika, elektromagnetizmi, dhe jep përshkrime të sakta për shumë dukuri të pashpjegueshme më parë, si ajo e rrezatimit të trupave të zinj dhe orbitës së qëndrueshme të elektronit.
Themeluesit e mekanikës kuantike ishin Uerner Hajzenberg dhe Ervin Shrëdinger. Ndihmesa të rëndësishme në zhvillimin e saj dhanë edhe Maks Born, Paskual Xhordan, Volfgang Pauli, Nils Bor, Paul Dirak dhe Xhon von Njuman. Konceptet themelore të mekanikës kuantike u përpunuan gjatë viteve 1926-1935. Mekanika kuantike më pohimet e saj dallohet krejtësisht prej fizikës klasike.
Fillesat e Mekanikes Kuantike u shtruan që në shekullin e nëntëmbëdhjetë me zbulimet e Tomsonit, Radherfordit e të tjerëve. Megjithatë ditëlindja e saj i detyrohet hipotezës së Max Plankut. Në fillim të shekullit të njëzete fizikanet po periqeshin të bënin një formulim teorik të radiacionit. Trajtimi klasik i radiacionit jepte përgjigje jo të kënaqshme. Relej dhe Xhins arritën në përfundim se energjia në brendësi te një vrime që ka rrezatim duhet të jetë e pafundme. Problemi qëndronte se këta fizikane mbështeteshin në hipotezën që energjia e radiacionit vjen në mënyre të vazhdueshme. Zgjidhja erdhi nga Planku i cili hodhi hipotezën se shkëmbimi i energjisë bëhet në mënyre diskrete. Kjo hipoteze hoqi përgjigjet e pafundme dhe arriti të japë një shpjegim kualitativ të kënaqshëm te fenomenit të rrezatimit. Hapi tjetër u mor nga Ajnshtajni i cili përdori hipotezën e Plankut për të arritur në një lidhje mes energjisë dhe masës.
Në të njëjtën kohë Ervin Shredinger dhe Uerner Hajzenberg krijuan dy formulime të ndryshme të asaj që në të ardhmen do të njihej si Mekanika Kuantike. Hajzenberg krijoi Mekanikën e Matricave, një formalizëm ku sistemi abstraktizohet nëpërmjet operatoreve në një hapësirë vektoriale abstrakte. Shredingeri nga ana tjetër arriti të formuloi një ekuacion i cili kontrollonte evoluimin në kohë të një sistem. Një nga hapet e fundit u hodh nga Paul Dirac i cili arriti të vendose në baza matematike të gjithë teorinë. Në vitet e ardhshme u arrit të tregohej se formulimet e Shredingerit dhe Hajzenbegut janë ekuivalente. Evoluimi i teorisë u bë nga D. Bohm i cili dha një interpretim probabilistik të teorisë. Në këtë kohe u formuan disa shkolla që mbështetnin interpretime të njëanshme të teorisë. Më e famshmja është Interpretimi i Kopenhagenit i njohur si interpretimi ortodoks i teorisë. Proponenti më i njohur i kësaj shkollë që Nils Bori. Zhvillime të mëvonshme të teorisë përfshin inekualitetin e Bellit, një nga zbulimet më të thella në anën teorike.
Parashikimet e mekanikes kuantike janë verifikuar eksperimentalisht me një shkallë shumë të lartë saktësie. Pra, versioni i tanishëm i principit të korrespondencës midis mekanikes kuantike dhe asaj klasike pohon se të gjitha objektet i binden ligjeve të mekanikës kuantike, sipas këtij parimi mekanika klasike është thjesht një version i mekanikës kuantike për sisteme të mëdha (ose një mekanike kuantike statistike për një numër të madh thërrmijash). Ligjet e mekanikes klasike janë rrjedhoja të ligjeve kuantike në limitin e sistemeve të mëdha ose numrave kuantike të mëdhenj.
Ndryshimi thelbësor midis teorisë klasike dhe teorive kuantike përmendet në eksperimentin e paradoksit të Ajnshtajn-Podolski-Rozen. Pra, në thelb ndyshimi është tek pohimi se mekanika kuantike është koherente (mbledhja e amplitudave), kurse teoritë klasike janë inkoherente (mbledhja e intensiteteve). Pra, madhësi të tilla si gjatësia e koherencës dhe kohet e koherencës hynë në punë. Për trupat mikroskopike zgjerimi i sistemit është natyrisht shumë më i vogël se gjatësia e koherencës ; për trupat makroskopike pritet që të jetë e kundërta.
Kjo është konform vezhgmeve të mëposhtme :
shumë veti “makroskopike” te sistemeve “klasike” janë rrjedhoja direkte të pjesëve të tyre. Për shembull, qëndrueshmëria e lendes (e cila përbehet nga atome dhe molekula të cilat duhet të pësonin kolaps nën forcat elektrike), ngurtësia e lendes, vetitë mekanike, termike, kimike, optike dhe magnetike të lendes—janë të gjitha rezultate të bashkëveprimit të ngarkesës elektrike nën rregullat e mekanikës kuantike.
Kjo sjellje ekzotike e lendes e postuluar nga mekanika kuantike dhe relativiteti bëhet më dukshme kur merremi me thërrmija të vogla që lëvizin me shpejtësi shumë të mëdha, kurse nga ana tjetër ligjet klasike të fizikës “njutoniane” janë akoma të vlefshme për parashikim e sjelljes së sistemit të objekteve të (“mëdha”)— të cilat lëvizin me shpejtësi shumë më të vogla se ajo e dritës.
Ka shumë formulime matematike të mekanikës kuantike të cilat janë matematikisht ekuivalente. Një nga formulimet më të vjetra dhe më të përdorshme është teoria e transformimit e propozuar nga fizikani teoricien nga Kambrixhi Pol Dirak, e cila unifikon dhe përgjithëson dy formulimet më të hershme të mekanikes kuantike, mekanikën e matricave (të formuluar nga Uerner Hajzenberg)[1] dhe mekanikën valore (të formuluar nga Ervin Shrodingeri).
Në këtë formulim, gjendja e çastit e sistemit të një sistemi kuantik enkodon probabilitetin e vetive që mund të maten, këto janë "madhësitë e observueshme". Shembuj të madhësive të observueshme përfshijnë energjinë, pozicionin, momentin, dhe momentin këndor. Madhësitë e observueshme mund të jenë ose të vazhdueshme (psh., pozicioni i një thërrmije) ose diskrete (psh, energjia e një elektron të lidhur në një atom hidrogjeni).
Përgjithësisht, mekanika kuantike nuk i jep vlera të përcaktuara madhësive të observueshme. Përkundrazi, ajo bën parashikime për shpërndarjen e probabilitetit ; pra, probabiliteti që në mund të marrim secilën nga rezultatet e mundshme të eksperimentit në matjen e një madhësi ete observueshme. Natyrisht, këto probabilitete do të varen në gjendjen kuantike të sistemit në çastin e matjes. Megjithatë, ekzistojnë disa, gjendje të cilat janë të lidhura me vlera të përcaktuara për një madhësi të observueshme. Këto njihen si "ajgengjendje" të madhësive të observueshme ("eigen" mund të përkthehet përafërsisht nga Gjermanishtja si veti inherente ose si një karakteristike). Në jetën e përditshme, është e natyrshme dhe intuitive të mendosh për gjithçka si një ajgenvlere e një madhësi të vezhgueshme. Çdo gjë duket se ka një pozicion të caktuar, një impuls të caktuar, dhe ndodhen një çast të caktuar. Megjithatë, mekanika kuantike nuk jep vlera të fiksuara për pozicionin dhe momentin e një thërrmije të caktuar në një hapësirë të caktuar në në një kohë të fundme ; ajo jep një rang probabilitetesh se ku mund të ndodhet thërrmija. Pra bëhet e nevojshme përdorimi i fjalëve të ndryshme për (a) gjendjen e diçkaje që ka një relacion papërcaktueshmërie dhe (b) një gjendje që ka një vlere të përcaktuar. Kjo e fundit quhet "ajgengjendje" e vetisë së matur.
Si shembull marrim thërrmijën e lire. Në mekanikën kuantike, ekziston një dualitet vale-grimce kështu që vetitë e thërrmijës mund të përshkruhen si një valë. Pra, gjendja kuantike e saj mund të paraqitet si një valë, me një formë arbitrare e zgjeruar mbi gjithë hapësirën, e cila quhet funksioni valor. Pozicioni dhe momenti i thërrmijës janë madhësi të observueshme. Parimi i papërcaktueshmërisë në mekaniken kuantike pohon se pozicioni dhe momenti i një thërrmije nuk mund të dihen në mënyre simultane me precizion të pafundme në të njëjtën çast kohor. Megjithatë, njeri mund të mati vetëm pozicionin e një thërrmije të lire duke krijuar kështu një ajgengjendje të pozicionit me një funksion valor që është shumë i madh në një pozicion të përcaktuar x, dhe zero kudo tjetër. Neqoftese njeri bën një matjet të pozicionit mbi një funksion valor të tille, rezultati x do të merret me një probabilitet pothuaj 100 %. Me fjale të tjera, pozicioni i thërrmijës së lire do të dihet pothuajse plotësisht. Kjo quhet një ajgengjendje e pozicionit (në zhargonin matematik : një ajgengjendje e përgjithshme (funksioni i ajgenshperndarjes)). Neqoftese thërrmija është një ajgenvlere e pozicionit atëhere momenti i saj nuk mund të dihet. Një ajgengjendje e momentit, nga ana tjetër, ka formën e një valë planare. Mund të tregohet se gjatësia e valës është e barabarte me h/p, ku h është konstantja e Plankut dhe p është momenti i ajgegjendjes. Neqoftese therrmija është në një ajgengjendje të momentit atëherë pozicioni i saj nuk mund të përcaktohet.
Në formulimin matematik rigoroz të mekanikes kuantike, të zhvilluar nga Pol Dirak dhe Xhon von Njuman, gjendjet e mundshme te një sistemi në mekaniken kuantike paraqiten nga vektorë njësi (të quajtur "vektorë gjendjeje") të cilët janë të vendosur në një hapësirë hilbertiane komplekse të ndashme (e quajtur gjithashtu "hapësira e gjendjeve" ose "hapësira asociative hilbertiane" e sistemit) e cila është e përcaktuar deri tek një numër kompleks me norme (modul) 1 (faktori faze). Me fjale të tjera, gjendjet e mundshme janë pika në një projektivizim të hapësires hilbertiane. Natyra ekzakte e hapësirës hilbertiane varet tek sistemi ; për shembull, hapësira e gjendjeve për gjendjet e pozicionit dhe momentit është hapësira e funksioneve të integrueshem në katror, kurse hapësira e gjendjes për spinin e një protoni të vetëm është thjesht produkti i dy planeve komplekse. Çdo madhësi e vezhgueshme paraqitet nga një matrice hermitiane (në mënyre më të sakte : nga një operator linear i vete-adjunguar) që vepron mbi çdo hapësirë gjendjeje. Çdo ajgengjendje e një madhësie të vezhgueshme i korrespondon një ajgenvektori të një operatori, dhe çdo ajgenvlere e asociuar me ajgenvektorin i korrespondon vlerës së madhësisë së observueshme në atë ajgengjendje. Neqoftese spektri i operatorit është diskret, madhësitë e vezhgueshme mund të marrin vetëm ajgenvlera diskrete.
Evolucioni kohor i një gjendjeje kuantike përshkruhet nga ekuacioni i Shrodingerit, në të cilin Hamiltoniani, operatori që i korrespondon energjisë totale të sistemit, prodhon evoluimin kohor.
Produkti i brendshëm midis dy vektorëve të gjendjes është një numër kompleks që njihet si amplituda e probabilitetit. Gjate një matjeje, probabiliteti i një sistemi pëson një kolaps nga një gjendje fillestare tek një ajgengjendjeje e caktuar i cili jepet nga katrori i vlerës absolute të amplitudës së probabilitetit midis gjendjes finale dhe asaj fillestare. Rezultatet e mundshme të një matjeje janë ajgenvlerat e operatorit - i cili shpjegon zgjedhjen e operatoreve hermitiane, për të cilët të gjithat ajgenvlerat janë reale. Ne mund të gjejmë distribucionin e probabilitetit të një madhësie të observueshme një gjendje të caktuar duke llogaritur dekompozimin spektral të operatorit korrespondues. Parimi i papërcaktueshmërisë i Hajzenbergut pohon se operatoret që i korrespondojnë disa madhësive të observueshme të caktuara nuk janë komutative.
Ekuacioni i Shrodingerit vepron mbi të gjithë amplitudën e probabilitetit, jo vetëm mbi vlerën e saj absolute. Ndërsa vlera absolute e amplitudës së probabilitetit enkodon informacionin rreth probabilitetit, faza e saj enkodon informacionin rreth interferencës midis gjendjeve kuantike. Kjo çon në sjelljen valore të gjendjeve kuantike.
Shihet se zgjidhjet analitike të ekuacionit të Shrodingerit janë të mundshme vetëm për një numër të vogël modelesh Hamiltoniane, prej të cilave oshilatori harmonik kuantik, therrmija në kuti, joni molekular i hidrogjenit dhe atomi i hidrogjenit janë më të rëndësishmit. Edhe për atomin e heliumit, i cili përmban vetëm një elektron më shumë se atomi i hidrogjenit, është e pamundur të gjendet një trajtim i plotë analitik. Ekzistojnë shumë teknika për të prodhuar zgjidhje të përafërta. Për shembull, në metodën që njihet si teoria perturbative njeri mund të përdori rezultatet analitike për një model të thjesht mekaniko kuantik për të prodhuar rezultate për një model më të komplikuar të lidhur me një model të thjeshte, për shembull, shtimi i një potenciali të dobët. Një metodë tjetër është "ekuacioni semi-klasik i lëvizjes", i cili aplikohet vetëm tek sisteme për të cilat mekanika kuantike çon në devijime të vogla në krahasim me sjelljen klasike. Këto devijime mund të llogariten duke u bazuar në lëvizjen klasike. Kjo metodë përdoret më shumë në fushën e kaosit kuantik.
Një formulim alternativ i mekanikës kuantike ështe formulimi integral i shtegjeve i dhëne nga Fajmani, në të cilin një amplitude mekaniko-kuantike shihet si një shumë rreth të gjitha historive (ngjarjeve) të mundshme midis gjendjes fillestare dhe asaj finale ; kjo është analogja mekaniko-kuantike e parimit të veprimit në mekanikën klasike.
Pasojat e mekanikës kuantike zakonisht nuk janë të vëzhgueshme në shkallën makroskopike, por në atë mikroskopike. Teoria kuantike, përveç teorisë së relativitetit të përgjithshëm është në thelb të teorive klasike, si mekanika, elektromagnetizmi, dhe jep përshkrime të sakta për shumë dukuri të pashpjegueshme më parë, si ajo e rrezatimit të trupave të zinj dhe orbitës së qëndrueshme të elektronit.
Themeluesit e mekanikës kuantike ishin Uerner Hajzenberg dhe Ervin Shrëdinger. Ndihmesa të rëndësishme në zhvillimin e saj dhanë edhe Maks Born, Paskual Xhordan, Volfgang Pauli, Nils Bor, Paul Dirak dhe Xhon von Njuman. Konceptet themelore të mekanikës kuantike u përpunuan gjatë viteve 1926-1935. Mekanika kuantike më pohimet e saj dallohet krejtësisht prej fizikës klasike.
Fillesat e Mekanikes Kuantike u shtruan që në shekullin e nëntëmbëdhjetë me zbulimet e Tomsonit, Radherfordit e të tjerëve. Megjithatë ditëlindja e saj i detyrohet hipotezës së Max Plankut. Në fillim të shekullit të njëzete fizikanet po periqeshin të bënin një formulim teorik të radiacionit. Trajtimi klasik i radiacionit jepte përgjigje jo të kënaqshme. Relej dhe Xhins arritën në përfundim se energjia në brendësi te një vrime që ka rrezatim duhet të jetë e pafundme. Problemi qëndronte se këta fizikane mbështeteshin në hipotezën që energjia e radiacionit vjen në mënyre të vazhdueshme. Zgjidhja erdhi nga Planku i cili hodhi hipotezën se shkëmbimi i energjisë bëhet në mënyre diskrete. Kjo hipoteze hoqi përgjigjet e pafundme dhe arriti të japë një shpjegim kualitativ të kënaqshëm te fenomenit të rrezatimit. Hapi tjetër u mor nga Ajnshtajni i cili përdori hipotezën e Plankut për të arritur në një lidhje mes energjisë dhe masës.
Në të njëjtën kohë Ervin Shredinger dhe Uerner Hajzenberg krijuan dy formulime të ndryshme të asaj që në të ardhmen do të njihej si Mekanika Kuantike. Hajzenberg krijoi Mekanikën e Matricave, një formalizëm ku sistemi abstraktizohet nëpërmjet operatoreve në një hapësirë vektoriale abstrakte. Shredingeri nga ana tjetër arriti të formuloi një ekuacion i cili kontrollonte evoluimin në kohë të një sistem. Një nga hapet e fundit u hodh nga Paul Dirac i cili arriti të vendose në baza matematike të gjithë teorinë. Në vitet e ardhshme u arrit të tregohej se formulimet e Shredingerit dhe Hajzenbegut janë ekuivalente. Evoluimi i teorisë u bë nga D. Bohm i cili dha një interpretim probabilistik të teorisë. Në këtë kohe u formuan disa shkolla që mbështetnin interpretime të njëanshme të teorisë. Më e famshmja është Interpretimi i Kopenhagenit i njohur si interpretimi ortodoks i teorisë. Proponenti më i njohur i kësaj shkollë që Nils Bori. Zhvillime të mëvonshme të teorisë përfshin inekualitetin e Bellit, një nga zbulimet më të thella në anën teorike.
Parashikimet e mekanikes kuantike janë verifikuar eksperimentalisht me një shkallë shumë të lartë saktësie. Pra, versioni i tanishëm i principit të korrespondencës midis mekanikes kuantike dhe asaj klasike pohon se të gjitha objektet i binden ligjeve të mekanikës kuantike, sipas këtij parimi mekanika klasike është thjesht një version i mekanikës kuantike për sisteme të mëdha (ose një mekanike kuantike statistike për një numër të madh thërrmijash). Ligjet e mekanikes klasike janë rrjedhoja të ligjeve kuantike në limitin e sistemeve të mëdha ose numrave kuantike të mëdhenj.
Ndryshimi thelbësor midis teorisë klasike dhe teorive kuantike përmendet në eksperimentin e paradoksit të Ajnshtajn-Podolski-Rozen. Pra, në thelb ndyshimi është tek pohimi se mekanika kuantike është koherente (mbledhja e amplitudave), kurse teoritë klasike janë inkoherente (mbledhja e intensiteteve). Pra, madhësi të tilla si gjatësia e koherencës dhe kohet e koherencës hynë në punë. Për trupat mikroskopike zgjerimi i sistemit është natyrisht shumë më i vogël se gjatësia e koherencës ; për trupat makroskopike pritet që të jetë e kundërta.
Kjo është konform vezhgmeve të mëposhtme :
shumë veti “makroskopike” te sistemeve “klasike” janë rrjedhoja direkte të pjesëve të tyre. Për shembull, qëndrueshmëria e lendes (e cila përbehet nga atome dhe molekula të cilat duhet të pësonin kolaps nën forcat elektrike), ngurtësia e lendes, vetitë mekanike, termike, kimike, optike dhe magnetike të lendes—janë të gjitha rezultate të bashkëveprimit të ngarkesës elektrike nën rregullat e mekanikës kuantike.
Kjo sjellje ekzotike e lendes e postuluar nga mekanika kuantike dhe relativiteti bëhet më dukshme kur merremi me thërrmija të vogla që lëvizin me shpejtësi shumë të mëdha, kurse nga ana tjetër ligjet klasike të fizikës “njutoniane” janë akoma të vlefshme për parashikim e sjelljes së sistemit të objekteve të (“mëdha”)— të cilat lëvizin me shpejtësi shumë më të vogla se ajo e dritës.
Ka shumë formulime matematike të mekanikës kuantike të cilat janë matematikisht ekuivalente. Një nga formulimet më të vjetra dhe më të përdorshme është teoria e transformimit e propozuar nga fizikani teoricien nga Kambrixhi Pol Dirak, e cila unifikon dhe përgjithëson dy formulimet më të hershme të mekanikes kuantike, mekanikën e matricave (të formuluar nga Uerner Hajzenberg)[1] dhe mekanikën valore (të formuluar nga Ervin Shrodingeri).
Në këtë formulim, gjendja e çastit e sistemit të një sistemi kuantik enkodon probabilitetin e vetive që mund të maten, këto janë "madhësitë e observueshme". Shembuj të madhësive të observueshme përfshijnë energjinë, pozicionin, momentin, dhe momentin këndor. Madhësitë e observueshme mund të jenë ose të vazhdueshme (psh., pozicioni i një thërrmije) ose diskrete (psh, energjia e një elektron të lidhur në një atom hidrogjeni).
Përgjithësisht, mekanika kuantike nuk i jep vlera të përcaktuara madhësive të observueshme. Përkundrazi, ajo bën parashikime për shpërndarjen e probabilitetit ; pra, probabiliteti që në mund të marrim secilën nga rezultatet e mundshme të eksperimentit në matjen e një madhësi ete observueshme. Natyrisht, këto probabilitete do të varen në gjendjen kuantike të sistemit në çastin e matjes. Megjithatë, ekzistojnë disa, gjendje të cilat janë të lidhura me vlera të përcaktuara për një madhësi të observueshme. Këto njihen si "ajgengjendje" të madhësive të observueshme ("eigen" mund të përkthehet përafërsisht nga Gjermanishtja si veti inherente ose si një karakteristike). Në jetën e përditshme, është e natyrshme dhe intuitive të mendosh për gjithçka si një ajgenvlere e një madhësi të vezhgueshme. Çdo gjë duket se ka një pozicion të caktuar, një impuls të caktuar, dhe ndodhen një çast të caktuar. Megjithatë, mekanika kuantike nuk jep vlera të fiksuara për pozicionin dhe momentin e një thërrmije të caktuar në një hapësirë të caktuar në në një kohë të fundme ; ajo jep një rang probabilitetesh se ku mund të ndodhet thërrmija. Pra bëhet e nevojshme përdorimi i fjalëve të ndryshme për (a) gjendjen e diçkaje që ka një relacion papërcaktueshmërie dhe (b) një gjendje që ka një vlere të përcaktuar. Kjo e fundit quhet "ajgengjendje" e vetisë së matur.
Si shembull marrim thërrmijën e lire. Në mekanikën kuantike, ekziston një dualitet vale-grimce kështu që vetitë e thërrmijës mund të përshkruhen si një valë. Pra, gjendja kuantike e saj mund të paraqitet si një valë, me një formë arbitrare e zgjeruar mbi gjithë hapësirën, e cila quhet funksioni valor. Pozicioni dhe momenti i thërrmijës janë madhësi të observueshme. Parimi i papërcaktueshmërisë në mekaniken kuantike pohon se pozicioni dhe momenti i një thërrmije nuk mund të dihen në mënyre simultane me precizion të pafundme në të njëjtën çast kohor. Megjithatë, njeri mund të mati vetëm pozicionin e një thërrmije të lire duke krijuar kështu një ajgengjendje të pozicionit me një funksion valor që është shumë i madh në një pozicion të përcaktuar x, dhe zero kudo tjetër. Neqoftese njeri bën një matjet të pozicionit mbi një funksion valor të tille, rezultati x do të merret me një probabilitet pothuaj 100 %. Me fjale të tjera, pozicioni i thërrmijës së lire do të dihet pothuajse plotësisht. Kjo quhet një ajgengjendje e pozicionit (në zhargonin matematik : një ajgengjendje e përgjithshme (funksioni i ajgenshperndarjes)). Neqoftese thërrmija është një ajgenvlere e pozicionit atëhere momenti i saj nuk mund të dihet. Një ajgengjendje e momentit, nga ana tjetër, ka formën e një valë planare. Mund të tregohet se gjatësia e valës është e barabarte me h/p, ku h është konstantja e Plankut dhe p është momenti i ajgegjendjes. Neqoftese therrmija është në një ajgengjendje të momentit atëherë pozicioni i saj nuk mund të përcaktohet.
Në formulimin matematik rigoroz të mekanikes kuantike, të zhvilluar nga Pol Dirak dhe Xhon von Njuman, gjendjet e mundshme te një sistemi në mekaniken kuantike paraqiten nga vektorë njësi (të quajtur "vektorë gjendjeje") të cilët janë të vendosur në një hapësirë hilbertiane komplekse të ndashme (e quajtur gjithashtu "hapësira e gjendjeve" ose "hapësira asociative hilbertiane" e sistemit) e cila është e përcaktuar deri tek një numër kompleks me norme (modul) 1 (faktori faze). Me fjale të tjera, gjendjet e mundshme janë pika në një projektivizim të hapësires hilbertiane. Natyra ekzakte e hapësirës hilbertiane varet tek sistemi ; për shembull, hapësira e gjendjeve për gjendjet e pozicionit dhe momentit është hapësira e funksioneve të integrueshem në katror, kurse hapësira e gjendjes për spinin e një protoni të vetëm është thjesht produkti i dy planeve komplekse. Çdo madhësi e vezhgueshme paraqitet nga një matrice hermitiane (në mënyre më të sakte : nga një operator linear i vete-adjunguar) që vepron mbi çdo hapësirë gjendjeje. Çdo ajgengjendje e një madhësie të vezhgueshme i korrespondon një ajgenvektori të një operatori, dhe çdo ajgenvlere e asociuar me ajgenvektorin i korrespondon vlerës së madhësisë së observueshme në atë ajgengjendje. Neqoftese spektri i operatorit është diskret, madhësitë e vezhgueshme mund të marrin vetëm ajgenvlera diskrete.
Evolucioni kohor i një gjendjeje kuantike përshkruhet nga ekuacioni i Shrodingerit, në të cilin Hamiltoniani, operatori që i korrespondon energjisë totale të sistemit, prodhon evoluimin kohor.
Produkti i brendshëm midis dy vektorëve të gjendjes është një numër kompleks që njihet si amplituda e probabilitetit. Gjate një matjeje, probabiliteti i një sistemi pëson një kolaps nga një gjendje fillestare tek një ajgengjendjeje e caktuar i cili jepet nga katrori i vlerës absolute të amplitudës së probabilitetit midis gjendjes finale dhe asaj fillestare. Rezultatet e mundshme të një matjeje janë ajgenvlerat e operatorit - i cili shpjegon zgjedhjen e operatoreve hermitiane, për të cilët të gjithat ajgenvlerat janë reale. Ne mund të gjejmë distribucionin e probabilitetit të një madhësie të observueshme një gjendje të caktuar duke llogaritur dekompozimin spektral të operatorit korrespondues. Parimi i papërcaktueshmërisë i Hajzenbergut pohon se operatoret që i korrespondojnë disa madhësive të observueshme të caktuara nuk janë komutative.
Ekuacioni i Shrodingerit vepron mbi të gjithë amplitudën e probabilitetit, jo vetëm mbi vlerën e saj absolute. Ndërsa vlera absolute e amplitudës së probabilitetit enkodon informacionin rreth probabilitetit, faza e saj enkodon informacionin rreth interferencës midis gjendjeve kuantike. Kjo çon në sjelljen valore të gjendjeve kuantike.
Shihet se zgjidhjet analitike të ekuacionit të Shrodingerit janë të mundshme vetëm për një numër të vogël modelesh Hamiltoniane, prej të cilave oshilatori harmonik kuantik, therrmija në kuti, joni molekular i hidrogjenit dhe atomi i hidrogjenit janë më të rëndësishmit. Edhe për atomin e heliumit, i cili përmban vetëm një elektron më shumë se atomi i hidrogjenit, është e pamundur të gjendet një trajtim i plotë analitik. Ekzistojnë shumë teknika për të prodhuar zgjidhje të përafërta. Për shembull, në metodën që njihet si teoria perturbative njeri mund të përdori rezultatet analitike për një model të thjesht mekaniko kuantik për të prodhuar rezultate për një model më të komplikuar të lidhur me një model të thjeshte, për shembull, shtimi i një potenciali të dobët. Një metodë tjetër është "ekuacioni semi-klasik i lëvizjes", i cili aplikohet vetëm tek sisteme për të cilat mekanika kuantike çon në devijime të vogla në krahasim me sjelljen klasike. Këto devijime mund të llogariten duke u bazuar në lëvizjen klasike. Kjo metodë përdoret më shumë në fushën e kaosit kuantik.
Një formulim alternativ i mekanikës kuantike ështe formulimi integral i shtegjeve i dhëne nga Fajmani, në të cilin një amplitude mekaniko-kuantike shihet si një shumë rreth të gjitha historive (ngjarjeve) të mundshme midis gjendjes fillestare dhe asaj finale ; kjo është analogja mekaniko-kuantike e parimit të veprimit në mekanikën klasike.
